Вивчення дробів

Вік від 5 до 11 років

Опубліковано в листопаді 2013 року.

Вступ
Наша мета - NRICH - запропонувати різноманітні завдання, які розвивають глибоке розуміння математичних понять. Звичайно, за своєю природою багаті завдання також дадуть дітям можливість працювати як математик, а отже, допоможуть їм розвивати свої навички вирішення проблем поряд із цим концептуальним розумінням. Такі завдання також надають цінні можливості для вас, щоб ви оцінили, до чого дійшли діти у своєму мисленні, і тому підтримують наступні кроки в їх навчальній подорожі.

Чинний Національний навчальний план в Англії, який набрав чинності у вересні 2014 року, містить більше вмісту, що стосується дробів, ніж попередній навчальний план. Щоб допомогти дітям зрозуміти поняття дробу, важливо переконатися, що вони мають багато практичного та різноманітного досвіду використання предметів, форм та величин. Це в поєднанні з досвідом багатих завдань, що стимулюють та кидають виклик їхньому мисленню; можливість розмовляти та можливість використовувати моделі та зображення, а не “фокуси”, все це підтримає їхнє все більше розуміння дробів.

Чому дітям дроби можуть бути важкими?
Труднощі з дробами часто виникають внаслідок того, що вони відрізняються від натуральних чисел тим, що вони відносні, а не фіксовані - одна і та ж частка може стосуватися різних величин, а різні частки можуть бути еквівалентними (Nunes, 2006). Ви б віддали перевагу чверті 20 фунтів стерлінгів або половині 5 фунтів? Той факт, що половина - це більша частка, не обов'язково означає, що сума, яку ви отримаєте, буде більшою. Питання завжди повинно звучати так: "частка чого?"; 'що таке ціле?'. Дроби можуть посилатися на предмети, величини або форми, тим самим розширюючи їхню складність.

Для того, щоб мати змогу розвинути своє розуміння, а потім узагальнити про дроби, дітям потрібно дослідити багато уявлень та використання протягом значного періоду часу. На перших роках учні навчились узагальнювати поняття трійки, маючи багато досвіду трійки трійки, але, мабуть, у школі ми можемо виявити, що їхній досвід обмежується лише піцами, липким папером та шоколадом! Чи мають діти рівний досвід досвіду предметів, фігур та величин і чи мають вони досвід цілого буття чимось іншим, ніж "єдиним"?

У нашому функціоналі дробу, частиною якого є ця стаття, ми пропонуємо посилання на дві групи завдань:

Перша група дає вам кілька вихідних пунктів для вивчення разом із вашим класом, які стосуються широкого віку. Завдання в цій першій групі будуть спиратися на сучасне розуміння дітьми дробів і допоможуть їм зрозуміти концепцію стосунків частково-цілого.
Друга група завдань фокусується на прогресуванні ідей, пов’язаних із дробами, через лінзу вирішення проблем. Отже, завдання цієї другої групи пов’язані з навчальною програмою, але вирішальне значення також надають можливість учням розвивати свої навички вирішення проблем та міркування.

У цій статті ми обговоримо кожну групу завдань по черзі, викладемо подальші причини для групування таким чином та пояснимо, чому було обрано кожне конкретне завдання.

Перша група завдань - відправні пункти
Як уже згадувалося вище, усі ці завдання можуть бути представлені дітям будь-якого віку. Вони дають можливість для значущих математичних дискусій та обміну поточним розумінням, крім того, пропонуючи можливості для оскарження помилкових уявлень. Важливо, щоб діти формували словниковий запас, за допомогою якого можна було б говорити про дроби. Звичайно, це поступовий процес, але вам дуже допомагає ваше моделювання відповідної мови, де це можливо, і звернення уваги на те, як діти добре користуються певним словниковим запасом. Усі наступні завдання забезпечують контекст, в якому спонукають учнів говорити про свої ідеї та працювати над вдосконаленням словникового запасу. (Стаття «Розвиток культури в класі, яка підтримує підхід до вирішення проблем до математики» пропонує кілька практичних ідей, які допоможуть вашому класі стати класом, який базується на розмовах.)

Половина паперу - це надзвичайно багате завдання, яке вимагає лише рясного запасу звичайного паперу формату А4. Учням пропонується по-різному роздрібнити аркуші паперу та сформулювати, як вони знають, що створили половинки. Розмова тут є ключовою. Попросити дітей пояснити свої ідеї допоможе виявити їх розуміння, навіть якщо їх конструкції не зовсім точні. Ви можете сприяти дискусії про те, що не всі половинки симетричні, і також було б плідно запитати, як учні думають, що це вплине на завдання, якби їм дали папір у квадраті, а не звичайний.

Що ви тут бачите? базується на половинці паперу, маючи ряд розмірів паперу разом із відповідними половинками. Подібно до половини паперу, ця діяльність спонукає учнів вивчати дроби як площу. Дітям пропонується «сказати, що вони бачать», щоб підказати дискусію, пов’язану з висловлюваннями про цей документ. Тут роль викладача полягає у витягуванні думки, що «половинки» мають різний розмір («у мене буде більша половина!»), Оскільки ідея половини безглузда, не знаючи цілого. Таким чином, завдання закладає основи глибокого розуміння стосунків частково-цілого.

(У нашій статті про розвиток раннього дробу, яка також є частиною першої групи ресурсів у цій функції, Бернард Баньялл багато разів описує свій досвід використання цих двох завдань та інші, багато разів із групами дітей та пропонує подальші ідеї, використовуючи папір.)

І як часто ми змінюємо "ціле"? Це завжди "один"? А як щодо спільного використання двох піц між трьома? У завданні NRICH Chocolate «ціле» - це одна, дві або три плитки шоколаду. Учні повинні прийняти рішення про найкращий стіл, за яким можна стояти, якщо шоколад на ньому ділиться між усіма за цим столом. Заохочення дітей самостійно записувати свої ідеї допомагає нам „побачити” їхнє мислення та оцінити, що вони роблять.

Дроби як форма ділення
У своєму дослідженні Nunes (2006) припускає, що обмін ситуаціями також може бути використаний як відправна точка для розуміння дітьми дробів, оскільки вона виявила, що діти молодшого шкільного віку мають певне розуміння дробів при вирішенні проблем поділу:

Діяльність Фонду "Наші Ранні роки" Математика "Історія часу" представляє Пірата Панду, який викрав усі скарби, але Кіт, Собака та Кролик теж хочуть. Що діти думають, що їм слід робити? Подібним чином діяльність Fair Feast пропонує контекст спільного проведення пікніка і може лягти в основу початкового пошукового завдання. Ви також можете запропонувати учням розглянути інші типи їжі - чи можуть вони вибрати щось, що вони хотіли б принести на пікнік, і пояснити, як цим можна поділитися?

Підводячи підсумок, завдання, які складають першу групу в нашій функції «Розпаковані фракції» ...

застосовуються для різного віку;
надати контексти, в яких глибоко досліджувати частково-цілі стосунки;
пропонувати можливості для розвитку концептуального розуміння за допомогою розмови.

Друга група завдань - Прогрес у дробах шляхом розв’язання проблем
Друга група завдань у нашій функції «Розпаковані фракції» була обрана для відображення прогресу в концепціях, пов’язаних з дробами, одночасно з наданням учням можливостей розвивати свої навички вирішення проблем та міркування.

Вміння розпізнавати, знаходити та називати «половинку» часто є одним із перших кроків у подорожі фракцій, і завдання, включені вище до першої групи, будуть корисними в цьому відношенні. Також варто згадати діяльність Halving, яка фокусується на зменшенні наполовину в контексті площі (квадратів). Миска з фруктами, однак, досліджує зменшення наполовину в контексті дискретних об'єктів, і ви могли б легко налаштувати завдання на створення подібних проблем, зосередившись на дещо більш складних змістах навчальної програми, використовуючи мову половин, чвертей та/або третин.

Ідея еквівалентності є ключовою для впровадження в міру того, як у дітей розвивається розуміння дробів. Не тільки заохочують учнів знаходити еквівалентні сім’ї дробів, а й розпізнавати десяткові еквіваленти дробів. Можливість округлення десяткових знаків до найближчого цілого числа - це навичка, яку часто викладають приблизно в цей час, і два завдання Round the Dice Decimals 1 та Round the Dice Decimals 2 пропонують значну практику. Ці два дослідницькі завдання дають учням можливість самостійно досліджувати, здогадуватися та узагальнювати, тобто діти не тільки покращуватимуть округлення, але й розвиватимуть свої міркування.

У спіральних десяткових знаках учні повинні порівнювати десяткові числа, а контекст гри може стимулювати деяких. Спроба перемогти суперника вимагає більш високого рівня мислення з точки зору розробки стратегії. Вирішуючи, яке число вибрати для будь-якого повороту, учні проведуть декілька порівнянь і відберуть той, який, на їхню думку, є найкращим для цього руху. Прохання пари зіграти іншу пару в цій грі означає, що партнери можуть поговорити між собою про своє мислення, що допоможе прояснити їх ідеї. (На відміну від того, що людина грає конкурентно проти іншої особи, коли жоден не захоче відмовлятися від своєї стратегії!)

Діяльність «Зв’язані ланцюжки» та «Довжина дробу» пропонує можливість ідентифікувати, називати та писати еквівалентні дроби, а також додавати дроби. Довжини дробу трохи складніші, оскільки знаменники не завжди кратні одному і тому ж числу. Обидва завдання мають кілька рішень, тому дітям пропонується використовувати різноманітні навички вирішення проблем, такі як випробування та вдосконалення, та систематичну роботу.

Якщо ви хочете зосередитись на підтримці дітей у розгляді шляхів вирішення проблеми, Енді Мармур цілком може відповідати цим вимогам. Завдання передбачає використання дробів для обчислення та ділення величин, і це, звичайно, не просто. Рівень виклику, який він надає, означає, що він має змогу конкретно посилатися на один або більше з чотирьох етапів процесу вирішення проблем (див. Статтю Розвиток досконалості у вирішенні проблем з молодими учнями).

Коли справа стосується обчислення дробів, небезпека полягає в тому, що ми вводимо правила, які слід запам’ятовувати, і раптом концептуальна розробка вже не оцінюється. Однак у статті «Моделі в розумі» Майк Аске демонструє, що масив є потужним інструментом для роздумів про множення дробів, що дає дітям візуальне зображення, на якому можна малювати, а не покладатися на «фокуси». Він починається з масиву, такого як цей, що представляє 13 x 4:

Поділивши 13 на 10 і 3, ми можемо використовувати відомі факти, щоб вирішити це множення:

13 х 4 = (10 х 4) + (3 х 4)

Звичайно, із збільшенням цифр вимальовувати всі крапки стає нудно, тому ми заохочуємо дітей використовувати порожній масив. Наприклад, 15 x 4 можна представити як:

Це веде до сіткового методу множення. Ось зображення, що показує як масив, так і метод сітки для вирішення 14 x 4:

Тоді ми можемо побачити, як відбувається множення дробів. Наприклад, для обчислення $ \ frac \ times \ frac $, ми б почали з масиву, розділеного на третини в один бік і п'яті в інший спосіб:

Учням, які прийшли до думки про множення з точки зору масивів, буде зручно вважати необхідний фрагмент частиною масиву, позначеною перетином $ \ frac $ і $ \ frac $:

Стаття варта того, щоб її прочитати, і нагадує нам, що «ознакою хорошої моделі/інструменту для мислення є те, що вона може допомогти учням зрозуміти математичну структуру, а не просто отримати правильні відповіді».

Резюме
Поняття дробу є складним, і для того, щоб у дітей склалося глибоке та суворе розуміння, потрібен час у поєднанні з багатим набором досвіду та відповідними математичними моделями. Можливо, ви хочете спробувати деякі з ресурсів, які ми рекомендуємо в цій статті, щоб побачити, як вони можуть підтримати розвиток розуміння дітьми дробів. Можливо, ви також захочете подивитися, якою є «дієта дітей» у всій школі, і як її можна корисно зміцнити, щоб максимізувати можливості дітей, щоб розвинути значуще і ґрунтовне розуміння дробів.